K-近邻

本文介绍懒惰学习的一个典型示例：K-近邻 (K-Nearest Neighbors，KNN) 算法。之所以称为懒惰，是因为它不从训练样本中学习判别函数，而是在记住已有的样本数据集的基础上对新样本进行分类。

算法思想

机器学习算法可以被分为两大类，参数模型和变参模型：

参数模型：学习时更新参数然后将其用于预测，如感知器、逻辑回归、线性 SVM 变参模型：参数不固定，如决策树/随机森林、使用核技巧的 SVM

KNN 属于变参模型的一个子类：基于实例的学习 (instance-based learning)，在训练过程中记住整个训练集。懒惰学习是基于实例的学习的特例，在整个学习过程中不涉及损失函数的概念。

KNN 算法非常简单，步骤及图示如下：

1. 确定 $k$ 的大小和距离度量。
2. 对于测试集中的一个样本，找到训练集中和它最近的 $k$ 个样本。
3. 将这 $k$ 个样本的投票结果作为测试样本的类别。

算法实现

以 Iris 数据集为例，基于 Scikit-learn 的实现如下 (设置 $k = 5$)：

from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier

knn = KNeighborsClassifier(n_neighbors=5, p=2, metric="minkowski")
knn.fit(X_train, y_train)

X_combined = np.vstack((X_train, X_test))
y_combined = np.hstack((y_train, y_test))
plot_decision_regions(X_combined, y_combined, classifier=knn, test_idx=range(105, 150))
plt.xlabel("petal length [standardized]")
plt.ylabel("petal width [standardized]")
plt.legend(loc="upper left")
plt.show()

$k$ 的选择对于 KNN 模型来说至关重要，另外一个重要参数为距离度量。

上述代码使用的是 minkowski 距离：

$$\begin{align} \displaystyle d(x^{(i)},x^{(j)}) = \sqrt[p] {\sum_k |x^{(i)}_k - x^{(j)}_k|^p} \end{align}$$

若 $p=2$，则代表欧几里得距离；若 $p=1$，则代表曼哈顿距离。

算法的维度问题

如果特征空间维度非常高，空间中最相似的两个点也可能距离很远，KNN 算法很容易过拟合。

在这种情况下，建议通过特征选择和降维等方法来避免维度问题。